Question

这4道题，麻烦您了，如果可以的话过程详细点

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Answer 1

1、V在xoy面上的投影区域D由y=√(2x-x^2)与y=0围成，D内任取一点作z轴的平行线，交V的边界于z=0与z=a。柱面坐标系下，V表示为：0≤θ≤π/2，0≤ρ≤2cosθ，0≤z≤a。

积分=∫(0到π/2) dθ ∫ (0到2cosθ) ρdρ ∫(0到a) zρdz=∫(0到π/2) dθ ∫ (0到2cosθ) ρ×1/2×a^2×ρdρ=∫(0到π/2) 4a^2/3×(cosθ)^3 dθ=4a^2/3×2/3=8a^2/9。

2、P(x,y)=-y/(4x^2+y^2)，Q(x,y)=x/(4x^2+y^2)。当(x,y)≠(0,0)时，αP/αy=αQ/αx=(y^2-4x^2)/(4x^2+y^2)^2。
在圆内作椭圆L1:4x^2+y^2=1，取逆时针方向。L1-表示L1的反向
由格林公式，∫(L+L1-) (xdy-ydx)/(4x^2+y^2)=0，所以∫(L) (xdy-ydx)/(4x^2+y^2)=∫(L1) (xdy-ydx)/(4x^2+y^2)=∫(L1) (xdy-ydx)=2×π/2=π。

3、f(x)=1/((x-2)(x-3))=1/(x-3)-1/(x-2)。
1/(x-3)=-1/3×1/(1-x/3)=-1/3×∑x^n/3^n=-∑x^n/3^(n+1)，-3＜x＜3。
1/(x-2)=-1/2×1/(1-x/2)=-1/2×∑x^n/2^n=-∑x^n/2^(n+1)，-2＜x＜2。
所以，f(x)=∑[1/2^(n+1)-1/3^(n+1)]x^n，-2＜x＜2。

4、P=y，Q=z，R=x。αP/αy=1，αP/αz=0，αQ/αz=1，αQ/αx=0，αR/αx=1，αR/αy=0。
记曲面∑为平面x+y+z=0上由Γ围成的圆形区域，圆的半径是a。∑取上侧，其上侧法向量是(1,1,1)，方向余弦是1/√3，1/√3，1/√3。
由斯托克斯公式，I=∫∫[(0-1)/√3-(1-0)/√3+(0-1)/√3]dS=-√3∫∫dS=-√3πa^2