Question

如图,已知E是三角形ABC的内心(即角平分线交点)角BAC的平分线交BC于点F，且与三角形ABC的外接圆相交于点D

如图,已知E是三角形ABC的内心(即角平分线交点)角BAC的平分线交BC于点F，且与三角形ABC的外接圆相交于点D
（1）试探求角DBE与角DEB的大小关系
（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长

Answer 1

1,

∠BAE=∠CAD   ∠ABE=∠EBC

∠DEB=∠BAE+∠ABE=∠CAD+∠EBC   ∠CAD=∠CBD

∠DEB=∠CBD+∠EBC=∠DBE

故∠DBE=∠DEB

2, 连接CD

∠BAD=∠CAD   弧BD=弧CD  ∠BCD=∠DCB

BD=CD  ∠DBE=∠DEB  BD=DE

DE=CD

∠BCD=∠DCB  ∠CBD=∠CAD

∠BCD=∠CAD

即∠FCD=∠CAF  ∠CDF=∠ADC

△FCD∽△CAD

DF:CD=CD:AD

CD^2=DF*AD

AD=8  DF:AF=1:3   DF:AD=1:4

DF=8*1/4=2

CD^2=2*8=16

CD=4

DE=CD=4