Question

已知数列{an},{bn}满足:a1=1/4,an+bn=1,bn+1=bn/1-an^2.

1）求a2,a3
2)证明数列{1/an}为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式

Answer 1

1、
b1=1-a1=1-1/4=3/4
b2=b1/(1-a1²)=(3/4)/(1-1/16)=4/5
a2=1-b2=1-4/5=1/5
b3=b2/(1-a2²)=(4/5)/(1-1/25)=5/6
a3=1-b3=1-5/6=1/6
a1=1/4=1/(1+3) a2=1/5=1/(2+3) a3=1/6=1/(3+3)
假设当n=k(k∈N+)时，ak=1/(k+3)，则
bk=1-ak=1- 1/(k+3)=(k+2)/(k+3)
b(k+1)=bk/(1-ak²)=[(k+2)/(k+3)]/[1-1/(k+3)²]=(k+2)(k+3)/[(k+3)²-1]=(k²+5k+6)/(k²+6k+8)
a(k+1)=1-b(k+1)=1- (k²+5k+6)/(k²+6k+8)=(k+2)/[(k+2)(k+4)]=1/(k+4)=1/[(k+1)+3]
表达式同样成立。
k为任意正整数，因此对任意正整数n，an=1/(n+3)
1/an=n+3
1/a(n+1)- 1/an=(n+1)+3-(n+3)=1
1/a1=1/(1/4)=4，数列{1/an}是以4为首项，1为公差的等差数列。
数列{an}的通项公式为an=1/(n+3)；数列{bn}的通项公式为bn=(n+2)/(n+3)