Question

已知函数f(x)=x^2+ax+b/x(x≠0)是奇函数,且f(1)=f(4)

1）求实数a，b2）是否存在实数k同时满足以下两个条件：1，不等式f（x）+k/2＜0对x∈（0，正无穷）恒成立；2，方程f（x）=k在x∈[-6,-1]上有解，若存在，试求k的取值范围，若不存在，说明理由

Answer 1

(1)∵f(x)=(x^2+ax+b)/x是奇函数
∴a=0；
∴f(x)=(x^2+b)/x
又∵f(1)=f(4)
∴4(1+b)=16+b
b=4
∴a=0；b=4
(2)f(x)=(x^2+4)/x
另 f'(x)=1-4/x^2=0得x=2，-2
易知：当0<x<2时，f'(x)<0;x∈(2,+∞)，f'(x)>0
∴f(x)在区间(0,2]单调递减，在区间(2,+∞)单调递增，在x=2处取极小值。
(3)不存在！
∵f(x)在x∈(2,+∞)上值域趋于+∞，
∴不存在k使得不等式f(x)+k/2＜0对x∈(0,+∞）恒成立
∴更不存在同时满足俩条件的k值

Answer 2

由f(1)=f(-1)=f(4)得a=-4,b=4