Question

考研数学关于正态分布的疑问

按照（3）所说，如果X、Y服从正态分布。X、Y独立 等价于 相关系数为0。按照（2）上面一行：若XY均服从正态且独立，则其联合分布为二维正态分布。那么【注】的那行：XY服从正态分布、相关系数为0则不一定其联合分布为二维正态分布。这前后是不是矛盾呢？
另一个疑问：画框的部分是不是想说无论XY独立与否。只要都服从正态分布，其线性组合均服从正态分布？要不为什么都用~N（a,b）的格式来写？

Answer 1

这里我也纠结了很久才想明白
先说最普通的结论
XY的相关系数ρ=0 推导不出 XY相互独立①

再说书上的（3）
在X，Y的联合分布服从二维正态分布X,Y-N(μ¹,μ²,σ¹,σ²,ρ)的大前提下
X,Y相互独立 等价于 相关系数ρ为0（没有服从二维正态大前提的话是不对的）
重点：这里的ρ不是普通的ρ，而是二维正态分布中的第五个参数ρ

最后说书上的（1）
书上说逆命题不成立
（即大前提变为要证的结论了，即没有联合分布是二维正态的条件了）
此时的大前提是:X,Y各自服从正态分布，相关系数ρº=0,
重点：这里的ρº不是二维正态分布的第五个参数ρ，而是两个随机变量的相关系数ρº
所以由最普通的结论①知：相关系数ρº=0 不再能推出X,Y相互独立
书上说的看似矛盾，主要原因是：
①联合分布为二维正态是否为已知前提，
②相关系数ρ的含义不同

你说的第二个问题很简单：是的
希望能有用

追问

第二个问题：有道题说必须满足二者独立。。和这个矛盾

Answer 2

1.差别在于一个是XY相互独立，一个是XY不相关，独立能推出不相关，反之则不行。
2.是的，只不过均值u和方差不同