Question

常见的竖直平面内的圆周运动

常见的竖直平面内的圆周运动有那写 试举例说明 谢谢

Answer 1

1. 竖直平面内的圆周运动的特点
竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动．
2. 变速圆周运动所受合外力产生两个效果
做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心(图6-12-1)，它产生两个方向的效果．

因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F1提供向心力．
3. 变速圆周运动中的正交分解
应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体（视为质点）所在的位置，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿法线（半径）方向，法线方向的合力F1改变速度的方向；另一个沿切线方向，切线方向的合力F2改变速度的大小．（想一想，图 6-12-1中物体的速度在增大还是减小？）
4. 处理竖直平面内圆周运动的方法
如前所述，通常情况下，由于弹力对物体不做功，只有重力（或其他力）对物体做功，因此，运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此类问题的有效方法．另外要注意在不同约束条件下物体能完成圆周运动的条件不同：在绳（或沿圆轨道内侧运动）的约束下，最高点速度 ；在杆（或管）的约束下，最高点速度v ≥ 0．
【案例剖析】
例1．如图6-12-2所示，质量为m的小球自半径为R的光滑半圆形轨道最高点A处由静止滑下，当滑至最低点B时轨道对小球的支持力是多大？
解析：小球下滑过程中轨道对小球的弹力不做功，只有重力对小球做功，所以小球的机械能守恒．

例2．如图6-12-3所示，长为l的细绳一端固定在O点，另一端拴质量为m的小球，在O点正下方距离O点d处有一钉子．将细绳拉成水平无初速释放小球，为使细绳碰到钉子后小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，d应满足什么条件？
解析：为使小球能绕钉子做完整的圆周运动，小球必须能通过圆周的最高点，设小球运动的轨道半径为R，则小球在最高点的速度应满足： ．

由此可解得：R ≤ 0.4l．所以，d满足的条件是：0.6l ≤ d < l．
例3．风洞实验室中可产生大小、方向可调节的风力．用长为l的细线拴一小球将其放入风洞实验室，调节风力方向为水平向右（如图6-12-4所示），当小球静止在A点时，悬线与竖直方向夹角为α．试求：
⑴ 水平风力的大小；
⑵ 若将小球从竖直位置由静止释放，当悬线与竖直方向成多大角度时，小球的速度最大？最大速度是多少？
解析： ⑴参照图6-12-5，根据平衡知识，可求得风力大小F = mgtanα，同时还可求得风力与重力的合力为mg/cosα．
⑵当小球运动到细线与竖直方向夹角为β时，建立如图6-12-6所示的坐标系：在x轴方向，当Fcosβ >mgsinβ时，小球速度在增大；当Fcosβ <mgsinβ时，小球速度在减小．当Fcosβ = mgsinβ时小球的速度达到最大，将第⑴问中的F代入即可解得：β = α．

思考：⑴小球静止在A点时，给小球多大的速度才能使它在竖直平面内做完整的圆周运动？
如图6-12-7所示，小球必须能通过B点才能做完整的圆周运动，设通过B点时小球的最小速度为vmin，则此时绳上拉力恰好为零．

⑵若将风力方向调节为竖直向上，并使风力大小恰好等于小球重力，那么，在最低点给小球水平方向的初速度，试分析小球的运动情况．
分析：因为合力对小球始终不做功，故动能不变，所以小球做匀速圆周运动．
【知识链接】
飞行员在进行特技飞行表演时，会发生黑视现象．当飞行员从俯冲状态往上拉时（图6-12-8），血液处于超重状态，视重增大，心脏无法象平常一样运输血液，导致血压降低，从而导致视网膜缺血．

Answer 2

竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置———最高点和最低点。
一、两类模型——轻绳类和轻杆类。
1、轻绳类。运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有 ，式中的 是小球通过最高点的

最小速度，叫临界速度，（2）质点能通过最高点的条件是 。（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了，（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于 ，质点才能运动过最高点。（5）过最高点的最小向心加速度 。
2、轻杆类。运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当 时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即 ，（2）当 时， ；（3）当 ，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；当（4） 时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随 的增大而减小， ；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度 ，才能运动到最高点。过最高点的最小向心加速度
3、过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即 ，向心加速度的表达式也相同，即 。质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力 最低点的向心力 ，由机械能守恒 ，质点运动到最低点和最高点的向心力之差 ，向心加速度大小之差也等于 。