Question

已知函数f(x)=2cos^x+sin^x-4cosx,①求f(π/3)的值 ②求f(x)的最大值和最小值

要详细的解答过程

Answer 1

f(x)=2cos²x+sin²x-4cosx
=1+cos²x-4cosx
令t=cosx
则g(t)=1+t²-4t，t∈[-1,1]
(1) x=π/3时，t=1/2
g(1/2)=-3/4
(2)
g(t)=(t-2)²-3
在[-1,1]上为减函数
∴max(g(t))=g(-1)=6
min(g(t))=g(1)=-2
即f(x)的最大值和最小值分别为：6，-2

Answer 2

f(x)=2cos²x+sin²x-4cosx
=cos²x +cos²x+sin²x-4cosx
=cos²x-4cosx+1
,①f(π/3)=cos²(π/3)-4cos(π/3)+1= 1/4 - 2 +1=-3/4;
② f(x)=(cosx-2)² -3
从而 当cosx=-1时，有最大值为 6;当cosx=1时，有最小值为-2。

追问

② f(x)=(cosx-2)² -3 怎样得来的

追答

配方得来。
f(x)=cos²x-4cosx +1=cos²x-4cosx+4 -3=(cosx-2)² -3

Answer 3

解:
(1)f(x)=2cos^2x+sin^2x-4cosx

=2cos^2x+1-cos^2x-4cosx
=cos^2x-4cosx+1
所以
f(π/3)=1/4-2+1=-3/4
(2)f(x)=cos^2x-4cosx+1=(cos^2x-4cosx+4)-3
=(cosx-2)^2 -3
又因为cosx∈[-1,1]
所以f(x)最大值为6 当cosx=-1时取得
最小值为-2 当cosx=1时取得