Question

已知函数f(x)=2sin^(π/4+x)-根号3cos2x ①求f（x）的周期和单调递增区间

②若关于x的方程f（x）-m=2在x属于【π/4,π/2】上有解，求实数m的取值范围

Answer 1

f(x)=2sin^(π/4+x)-√3cos2x
=1-cos(π/2+2x)-√3cos2x
=1+sin2x-√3cos2x
=1+2sin(2x-π/3),
①f(x)的周期是 π，
增区间由（2k-1/2)π<2x-π/3<(2k+1/2)π,k∈Z确定，
各加π/3，（2k-1/6)π<2x<(2k+5/6)π,
各除以2，（k-1/12)π<x<(k+5/12)π.
②m=f(x)-2=2sin(2x-π/3)-1,
x∈[π/4,π/2],
∴2x-π/3∈[π/6,2π/3],
∴sin(2x-π/3)∈[1/2,1],
∴m的取值范围是[0,1].