Question

设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R），求f（x）的最小值

请附上解题过程，O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

①`当x小于等于a，函数f(x)=x2-x+a+1=(x-1/2)2+a+3/4
若a小于等于1/2,则函数在（-∞，a]上单调递减，从而，函数在（-∞，a]世且f(x)小于等于f(a)的最小值为f(a)=a2+1
若a大于1/2，则y在（-∞，a]的最小值是f(1/2)=a+3/4
②当x大于等于a，f(x)=x2+2x-a+1=(x+1/2)2+a+3/4
所以
a小于等于-1/2，则函数在[a,+∞)最小值为f(-1/2)=3/4-a
若a大于1／2，则在[a,+∞)单调递减，在[a,+∞)的最小值为f(a)=a2+1
所以①②知，当a小于等于-1/2最小值为3/4-a
当-1/2小于a小于等于1/2，最小值为a2+1
a大于1/2，最小值为a+3/4

Answer 2

当x>=a时，f(x)=x^2+x-a+1，此时令f(x)的导数f'(x)=2x+1=0，解得x=-1/2。因为函数曲线开口向上，所以在x=-1/2处取得最小值
当x<a时，f(x)=x^2+a-x+1，此时令f(x)的导数f'(x)=2x-1=0，解得x=1/2。因为函数曲线开口向上，所以在x=1/2处取得最小值