Question

若函数f<x>=x^3+ax^2+bx+c

有极值点x1,x2,且f<x1>=x1,则关于x的方程3（f<x>）^2+2af<x>+b=0的不同实根个数是
A 3
B 4
C 5
D 6

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax+b

∵f(x)有2个极值点

∴3x^2+2ax+b=0

有2个不等实数根x1,x2

∴Δ=4a^2-12b>0

3（f<x>）^2+2af<x>+b=0

令t=f(x)

得到3t^2+2at+b=0

Δ>0

方程有2个不等的实数解

 t1=x1,t2=x2

下面解 f(x)=t1=x1，和f(x)=t2=x2

 当x1>x2时，x1=f(x1)为极小值

  f(x)=x1有2个解

f(x)=x2有1个解

合计有3个解

当x1<x2时，

f(x1)为极大值，f(x1)=x1<x2

∴f(x)=x1有2个解，f(x)=x2还是只有1个解

综上，选A

追问

当x1>x2时，x1=f(x1)为极小值没错
f(x)=x1有2个解是什么意思？