Question

f（x）=xlnx/（x+1） （1）若任取x∈[1,+∞﹚，f（x）≤m（x-1）恒成立，求m范围

（2）求证ln（2n+1）^1/4＜i/(4i^2-1)
第二问证ln（2n+1）^1/4＜{i/(4i^2-1)（i从1开始取，前n项和∑）}

Answer 1

1、即，使xlnx/(x^2-1)≤m在x∈[1,+∞﹚上恒成立

令g(x)=xlnx/(x^2-1)
g'(x)=[(lnx+1)(x^2-1)-2x^2lnx]/(x^2-1)^2=[-x^2lnx+x^2-lnx-1]/(x^2-1)^2
令h(x)=-x^2lnx+x^2-lnx-1
h'(x)=-2xlnx+x-1/x
h''(x)=-2lnx+1/(x^2)-1
h'''(x)=-2/x-2/x^3=-(2/x)*(1+1/x^2)<0
∴h''(x)在x∈[1,+∞﹚上单调减；
∵h''(1)=0
∴h''(x)<0在x∈[1,+∞﹚上恒成立；
∴h'(x)在x∈[1,+∞﹚上单调减；
∵h'(1)=0
∴h'(x)<0在x∈[1,+∞﹚上恒成立；
∴h(x)在x∈[1,+∞﹚上单调减；
∵h(1)=0
∴h(x)<0在x∈[1,+∞﹚上恒成立；
即g'(x)<0在x∈[1,+∞﹚上恒成立；
∴g(x)在x∈[1,+∞﹚上单调减；
∴g(x)max=g(1)=Lim x→1,xlnx/(x^2-1)=Lim x→1, (lnx+1)/2x=1/2
∴m≥1/2

2、ln(2n+1)^4=[ln(2n+1)]/4＜(n sum i=1)[i/4i^2-1]
ln(2n+1)＜4(n sum i=1)[i/4i^2-1]
设左端为数列an的求和An
则,An-A(n-1)=an=ln(2n+1)/(2n-1)
设右端数列通项为bn=4n/(4n^2-1)

再设(2n+1)/(2n-1)=t
n=(t+1)/2(t-1)
则an=lnt,
bn=(t^2-1)/2t
t∈[1,+∞）
由1、可知，xlnx/(x^2-1)≤1/2对于任意x∈[1,+∞﹚恒成立
即lnx≤(x^2-1)/2x,对于任意x∈[1,+∞﹚恒成立
an≤bn
所以An<Bn
得证