设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=e^x-ax

设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=e^X-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2... 设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=e^X-ax,其中a为实数.
(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;
(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.
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暖眸敏1V
2013-08-18 · TA获得超过9.6万个赞
知道大有可为答主
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(1)
f'(x)=1/x-a
f(x)在(1,+∞)上∞是减函数
那么x>1时,f'(x)<0
即a>1/x恒成立
∵1/x∈(0,1)
∴a≥1

g'(x)=e^x-a
由g'(x)=0即e^x=a得 x=lna
当1≤a≤e时,0<lna≤1
e^x<a,g‘(x)<0,g(x)递减
∴g(x)在(1,+∞)上没有最小值
当a>1时,
1<x<lna时,g'(x)<0,g'(x)递减
x>lna时,g'(x)>0,g(x)递增
∴g(x)存在最小值g(lna)=a-alna
综上,a>1

(2)
g(x)在(-1,+∞)递增
x>-1,e^x-a≥0
即a≤e^x恒成立
∵e^x∈(0,1/e)
∴a≤0
f(x)=lnx-ax
f'(x)=1/x-a>0恒成立
f(x)为增函数
x无限趋近于0时,f(x)无限趋近于-∞
x无限增大时,f(x)无限趋近于+∞
f(x)存在唯一零点
更多追问追答
追问
不是吧,是2013年江苏卷
追答
第一问,笔误了
讨论了1≤a≤e后
应该是当a>e时,
1lna时,g'(x)>0,g(x)递增
∴g(x)存在最小值g(lna)=a-alna
综上,a>e
来自:求助得到的回答
世界塔的遗迹
2013-08-18 · 超过13用户采纳过TA的回答
知道答主
回答量:26
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f '(x)=1/x -a g '(x)=x-a
1、f(x)在(1,+∞)↓ 当x=1时f '(x)=-a 可得a≥0 当x=1时g '(x)=1-a 要有最小值且x=1不可取 说明导数必须要有小于0的时候 即a>1 综上 a>1
2、1个 因为g '(x)=x-a -1-a≥0 a≤0 f '(x)=1/x -a(x>0) f(x)在x>0时↑ 当x=0时f(x)趋于-∞ 当x=1时f(x)=-a>0 所以零点为一个
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