Question

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^X-ax，其中a为实数．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

（1）
f'(x)=1/x-a
f(x)在(1,+∞)上∞是减函数
那么x>1时，f'(x)<0
即a>1/x恒成立
∵1/x∈(0,1)
∴a≥1

g'(x)=e^x-a
由g'(x)=0即e^x=a得 x=lna
当1≤a≤e时，0<lna≤1
e^x<a,g‘（x)<0,g(x)递减
∴g(x)在(1,+∞)上没有最小值
当a>1时，
1<x<lna时，g'(x)<0,g'(x)递减
x>lna时，g'(x)>0,g(x)递增
∴g(x)存在最小值g(lna)=a-alna
综上，a>1

(2)
g(x)在(-1,+∞)递增
x>-1,e^x-a≥0
即a≤e^x恒成立
∵e^x∈(0,1/e)
∴a≤0
f(x)=lnx-ax
f'(x)=1/x-a>0恒成立
f(x)为增函数
x无限趋近于0时，f(x)无限趋近于-∞
x无限增大时，f(x)无限趋近于+∞
f(x)存在唯一零点

追问

不是吧，是2013年江苏卷

追答

第一问，笔误了
讨论了1≤a≤e后
应该是当a>e时，
1lna时，g'(x)>0,g(x)递增
∴g(x)存在最小值g(lna)=a-alna
综上，a>e

追问

当1≤a≤e时，0<lna≤1
e^x<a,g‘（x)<0,g(x)递减
lna为什么不可以为0， “e^x<a,g‘（x)<0,g(x)递减”什么意思

追答

根据f(x)的具备的条件已推出a>1
那么必有 lna>0

追问

根据f(x)的具备的条件已推出不是a大于等于1吗？
∵1/x∈(0,1)
∴a≥1

这你写的

追答

当1≤a≤e时，0≤lna≤1

可以为0的

Answer 2

f '(x)=1/x -a g '(x)=x-a
1、f(x)在(1,+∞）↓ 当x=1时f '(x)=-a 可得a≥0 当x=1时g '(x)=1-a 要有最小值且x=1不可取 说明导数必须要有小于0的时候 即a>1 综上 a>1
2、1个 因为g '(x)=x-a -1-a≥0 a≤0 f '(x)=1/x -a(x>0) f(x)在x>0时↑ 当x=0时f(x)趋于-∞ 当x=1时f(x)=-a>0 所以零点为一个