Question

数学填空题求解

Answer 1

解：：1.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
证明:∵A′D=A′E，
∴DE⊥A′G，
∵△ABC是正三角形，
∴DE⊥AG，又A′G∩AG=G，
∴DE⊥平面A′GF，从而平面ABC⊥平面A′AF，
且两平面的交线为AF，
∴A'在平面ABC上的射影在线段AF上，故正确；
2.恒有平面A′GF⊥平面BCED
证明：由1知，平面A'GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A'GF⊥平面BCED，故2正确；
3.三棱锥A′-FED的体积有最大值
证明：∵三棱锥A′-FED的底面面积S△FED的面积为定值，
由（1）知，A′到AF的距离即为此三棱锥的高，
故当平面ADE⊥平面DEF时，三棱锥的高最大为A′C，
从而三棱锥体积最大，故正确
4.异面直线A′E与BD不可能垂直
证明：∵E、F为线段AC、BC的中点，
∴EF∥AB，
∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角，
当（A'E）^2+EF^2=（A'F）^2时，
直线A'E与BD垂直，
故不正确；

Answer 2

解：：∵A′D=A′E，∴DE⊥A′G，∵△ABC是正三角形，∴DE⊥AG，又A′G∩AG=G，∴DE⊥平面A′GF，从而平面ABC⊥平面A′AF，且两平面的交线为AF，∴A'在平面ABC上的射影在线段AF上
∵E、F为线段AC、BC的中点，∴EF∥AB，∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角，当（A'E）2+EF2=（A'F）2时，直线A'E与BD垂直
∵三棱锥A′-FED的底面面积S△FED的面积为定值，由（1）知，A′到AF的距离即为此三棱锥的高，故当平面ADE⊥平面DEF时，三棱锥的高最大为A′C，从而三棱锥体积最大，
由A知，平面A'GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A'GF⊥平面BCED

Answer 3

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