Question

设F1F2分别为椭圆C:x2/a2＋y2/b2＝1(a＞b＞)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点、直线的倾

设F1F2分别为椭圆C:x2/a2＋y2/b2＝1(a＞b＞)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点、直线的倾斜角为60º，F1到直线的距离为2√3。求椭圆C的焦距，如果→AF2=2→F2B,求椭圆C的方程

Answer 1

c=√(a²-b²),F2(c,0),F1(-c,0)
l过F2,倾斜角为60º，k=√3
∴l:y=√3(x-c) ,即√3x-y-√3c=0
∵F1到直线L的距离为2根号3
∴|-√3c-√3c|/2=2√3
∴c=2
l:y=√3(x-2)
x=y/√3+2代入x^2/a^2+y^2/b^2=1
得:(y/√3+2)²/a²+y²/b²=1
即(3a²+b²)/(3a²b²)* y²+4√3y/(3a²)+4/a²-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴y1+y2=-4√3b²/(3a²+b²) ,y1y2=(12b²-3a²b²)/(3a²+b²)
∵|AF2|=2|F2B|
∴y1=-2y2
∴-y2=-4√3b²/(3a²+b²),-2y²2=(12b²-3a²b²)/(3a²b²)
∴-2(-4√3b²)²/(3a²+b²)²=(12b²-3a²b²)/(3a²+b²)
∴ -96b⁴=(12b²-3a²b²)*(3a²+b²)
∵b²=a²-4
整理得： a⁴-13a²+36=0
a²=9,或a²=4(舍）
b²=5
∴椭圆C的方程是x²/9+y²/5=1