Question

矩阵相似的充分与必要条件

矩阵相似则1秩相同2特征值相同3特征多项式相同4行列式相同。但是有以上几点能否推出矩阵相似呢？

Answer 1

设A，B是数域P上两个  矩阵：

(1) A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵  与  等价。

(2) A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。

(3) 两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。

性质

(1) 若A相似于B，则A等价于B（即A可通过初等变换化为B）

(2) 若A相似于B，则tr(A)=tr(B)

(3) 若A相似于B，则|A|=|B|

以上三条反之皆不成立。

扩展资料：

相似是矩阵间的一种重要关系，这种关系具有以下三个性质：

1.反身性：  。这是因为  （其中  为单位矩阵，下同）。

2.对称性：如果  ，那么  。事实上如果  ，那么有X使  ，令  ，就有  ，所以  。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

参考资料：百度百科——矩阵

参考资料：百度百科——矩阵的秩

Answer 2

设A，B是数域P上两个  矩阵：

(1) A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵  与  等价。

(2) A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。

(3) 两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。

性质

(1) 若A相似于B，则A等价于B（即A可通过初等变换化为B）

(2) 若A相似于B，则tr(A)=tr(B)

(3) 若A相似于B，则|A|=|B|

以上三条反之皆不成立。

扩展资料

三角矩阵

在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。若  ，则  的矩阵称为上三角矩阵，若  ,则  的矩阵称为下三角矩阵。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。

相似矩阵

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得：  或  。

相合矩阵

令  ,并且C非奇异，则矩阵  称为A的相合矩阵。其中线性变换  称为相合变换。

参考资料：百度百科-矩阵

参考资料：百度百科-矩阵的秩

Answer 3

不能.
两个矩阵相似的判断超出了线性代数的范围
定理: A,B 相似的充要条件是 A-λE 与 B-λE 等价

Answer 4

但是有以上几点能否推出矩阵相似呢？----------------------不行。特征值除有相同的代数重数外还需加上特征值有相同的几何重数。

Answer 5