Question

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),对任意x、y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),且当0＜x＜1时，f（x）＞0 (1)

(1)证明：当x＞1时，f（x）＜0
（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明
（3）如果对任意x、y∈(0,+∞)，f(x∧2+y∧2)≤f(a)+f(xy)恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)证明：
∵f(xy)=f(x)＋f(y),令x=2,y=1,
f(2)=f(2)＋f(1)
∴f(1)=0
当x＞1时，0＜1/x＜1
∴f(1/x)＞0
∴f(1)=f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=0
∴f(x)=-f(1/x)＜0

(2)设：x1>x2>0，则：
f(x1)－f(x2)
=f[(x1/x2)×(x2)]－f(x2)
=f(x1/x2)＋f(x2)－f(x2)
=f(x1/x2)
因为x1>x2>0，则：x1/x2>1，则：f(x1/x2)<0，即：
f(x1)－f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
所以函数在内是(0,+∞)递减的。

(3)f(x²+y²)≤f(a)+f(xy)=f(axy)
∵f(x)是单调递减的
∴x²+y²≥axy
∴a≤(x²+y²)/xy恒成立
∴a≤[(x²+y²)/xy]min
∵(x²+y²)/xy≥2xy/xy=2
∴0＜a≤2
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希望还您一个正确答复!
祝您学业进步!

追问

∵(x²+y²)/xy≥2xy/xy=2
∴0＜a≤2
这两步不懂

追答

基本不等式a+b≥√ab
∴x²+y²≥2xy
∴(x²+y²)/xy≥2xy/xy=2
∵a≤[(x²+y²)/xy]min
∴a≤2
又因为题目中出现了f(a),而f(x)定义域是（0，+无穷）
所以a＞0
∴0＜a≤2

追问

基本不等式a+b≥√ab
∴x²+y²≥2xy
这两步还是不明白，什么意思啊，可不可以再详细点，谢谢！

追答

基本不等式是每个高中生都要知道的
我写错了一点a+b≥2√ab,a≥0,b≥0
证明：(a-b)²=(a+b)²-4ab≥0
∴(a+b)²≥4ab
∴a+b≥2√ab

x²+y²≥2xy这也可以这样证明
x²+y²-2xy=(x-y)²≥0
∴x²+y²≥2xy

追问

谢谢大神指导！大榭！！

Answer 2

(1)在f(xy)=f(x)＋f(y)中，以x=2、y=1代入，得：
f(2)=f(2)＋f(1)
得：f(1)=0

设：x1>x2>0，则：
f(x1)－f(x2)
=f[(x1/x2)×(x2)]－f(x2)
=f(x1/x2)＋f(x2)－f(x2)
=f(x1/x2)
因为x1>x2>0，则：x1/x2>0，则：f(x1/x2)<0，即：
f(x1)－f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
所以函数在定义域内是递减的。
所以当x＞1时，f（x）＜f(1)=0

(2)上面已证
（3）
f（(x^2+y^2)）≤f((x*y))+f(a)对任意x，y∈（0，+∞）恒成立，则
f（(x^2+y^2)）-f((x*y))≤f(a)对任意x，y∈（0，+∞）恒成立。
即f（a）≥max【f（(x^2+y^2)）-f((x*y))】
而f（(x^2+y^2)）-f((x*y))=f（[(x^2+y^2)）/(x*y)])
其中(x^2+y^2)）/(x*y)=[(x^2+y^2)/xy]≥2,当且仅当x=y＞0时取等
又f(x)为减函数
故f（[(x^2+y^2)）/(x*y)])≤f(2)
即max【f（(x^2+y^2)）-f((x*y))】=f(2)
所以f(a)≥f(2),0＜a≤2