Question

对勾函数怎么求最值,以及其单调性，如果定义域改变（动区间，定函数），那么最值如何求，急急急！

对勾函数怎么求最值,以及其单调性，如果定义域改变（动区间，定函数），那么最值如何求

Answer 1

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+b/x。

奇偶性与单调性
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根）
奇函数。
令k=sqrt(b/a），那么：
增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；
减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k} 变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。

渐近线
对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支双曲线。

均值不等式
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

其实对勾函数的一般形式是：
f(x)=x+a/x(a>0)
定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）
值域为（-∞，-2√ab）∪（2√ab,+∞）
当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a
当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a
对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：
设x1<x2，则f(x1）-f(x2）=x1+a/x1-(x2+a/x2）=(x1-x2）+a(x2-x1）/(x1x2）=(x1-x2）（x1x2-a)/(x1x2）
下面分情况讨论
⑴当x1<x2<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函数在（-∞，-根号a）上是增函数
⑵当-根号a<x1<x2<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数
⑶当0<x1<x2<；根号a时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数
⑷当根号a<x1<x2时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函数在（根号a，+∞）上是增函数
解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。