Question

设关于x的不等式ax^2+bx+c<0的解集{x|x<α或x>β},其中α<β<0,求cx^2-bx+a>0的解集

Answer 1

ax^2+bx+c<0
两边除以a
因为是x<α或x>β
所以不等式是x^2+(b/a)x+(c/a)>0
所以a<0
由韦达定理
α+β=-b/a
αβ=c/a
α<β<0
所以-b/a<0,ab异号
c/a>0,ac异号
所以abc都大于0
且b/c=(b/a)/(c/a)=-(α+β)/(αβ)
a/c=1/(αβ)
设cx^2+bx+a=0的根是p，q,p<q
则p+q=-b/c=(α+β)/(αβ),pq=a/c=1/(αβ)
α<β<0
所以1/β<1/α<0
所以p=1/β,q=1/α
cx^2+bx+a>0
c>0
x^2+(b/c)x+(a/c)>0
所以x<1/β,x>1/α

追问

-b/a<0,ab为啥异号呢

追答

sorry，做题糊涂了，改一下
ax^2+bx+cβ
所以不等式是x^2+(b/a)x+(c/a)>0
所以a0,ac同号
所以abc都小于0
且b/c=(b/a)/(c/a)=-(α+β)/(αβ)
a/c=1/(αβ)
设cx^2+bx+a=0的根是p，q,p0
c0
所以1/β<x<1/α

Answer 2

由题知ax＾2＋bx＋c　＆lt；0可化为a（x＋2）（x＋1＆＃47；2）＆lt；0，由解集得抛物线开口向下即　a＆lt；0故有（x＋2）（x＋1＆＃47；2）＆gt；0比较题中两式的左端和十字相乘法则：ax＾2－bx＋c　＆gt；0可化为a（x－2）（x－1＆＃47；2）＆gt；0又a＆lt；0　故有（x－2）（x－1＆＃47；2）＆lt；0所以解集为　｛1＆＃47；2＆lt；x＆lt；2｝　参考：已知关于X的不等式ax方＋bx＋c＆lt；0的解集是x＆lt；－2或x＆gt；－0．5　求ax方－bx＋c＆gt；0的解集设f（x）＝ax＆sup2；＋bx＋c又设f（x）＝0的两根为x1＆lt；x2，（若无实根则原不等式解集为全体实数or无实解）则f（x）＝a（x－x1）（x－x2）若a＆gt；0，则f（x）＆lt；0，解集为x1＆lt；x＆lt；x2与x＆lt；－2或x＆gt；－0．5矛盾a＝0，bx＋c＆lt；0与x＆lt；－2或x＆gt；－0．5矛盾故a＆lt；0，f（x）＆lt；0的解集是x＆gt；x2，x＆lt；x1，因解集是x＆lt；－2或x＆gt；－0．5则x1＝－2，x2＝－1＆＃47；2f（x）＝a（x＋2）（x＋1＆＃47；2）＝ax＆sup2；＋5ax＆＃47；2＋a则b＝5a＆＃47；2，c＝a则ax方－bx＋c＆gt；0＆lt；＝＆gt；ax＆sup2；－5a＆＃47；2x＋a＆gt；0＆lt；＝＆gt；a（x－2）（x－1＆＃47；2）＆gt；0（a＆lt；0）＝＆gt；1＆＃47；2＆lt；x＆lt；2