Question

判断函数f(x)=-x^3+1在（负无穷，正无穷）上单调性，并给予证明。

求详解，用两种方法证明

Answer 1

方法1：利用定义证明单调性证明：因为f(x)= -x^3+1定义域为R
设x1<x2
∴f(x1)=-X1^3+1 f(x2)=-x2^3+1
f(x1)-f（x2）=-X1^3+1-(-x2^3+1)=-x1^3+x2^3 =-(x1-x2 )(x1^2+x1x2+x2^2)=(x1-x2)[(x1+x2/2)^2+3/4x^2]
∵x1<x2∴f(x1)-f（x2）>0
即 f(x1)>f（x2）
∴f(x)= -x^3+1在定义域R上为减函数
方法2：利用导数求解解：∵f'(x)=-2x^2≤0
∴f（x）=-x�0�6+1在定义域内是减函数 方法3：利用复合函数性质求解解：函数f(x)=-x^3+1为f(x)=-x^3和f(x)=1两个函数复合而成
由复合函数函数性质可知 f(x)=-x^3在R上为减函数
则复合函数f(x)=-x^3+1在R上为单调递减函数 希望能帮到你。如果满意谢谢采纳。

Answer 2

方法1:利用定义证明单调性证明:因为f(x)=
-x^3+1定义域为R
设x1<x2
∴f(x1)=-X1^3+1
f(x2)=-x2^3+1
f(x1)-f(x2)=-X1^3+1-(-x2^3+1)=-x1^3+x2^3
=-(x1-x2
)(x1^2+x1x2+x2^2)=(x1-x2)[(x1+x2/2)^2+3/4x^2]
∵x1<x2∴f(x1)-f(x2)>0
即
f(x1)>f(x2)
∴f(x)=
-x^3+1在定义域R上为减函数
方法2:利用导数求解解:∵f'(x)=-2x^2≤0
∴f(x)=-x??+1在定义域内是减函数
方法3:利用复合函数性质求解解:函数f(x)=-x^3+1为f(x)=-x^3和f(x)=1两个函数复合而成
由复合函数函数性质可知
f(x)=-x^3在R上为减函数
则复合函数f(x)=-x^3+1在R上为单调递减函数
希望能帮到你。如果满意谢谢采纳。

Answer 3

1 求导，f'(x)=-3x^2 < 0, 单调递减；2 直接对比，算f(a)-f(b) = b^3 - a^3 = (b - a) (b^2 +ab +a^2 ), 由于a^2+b^2 >= 2|a||b| > -ab, 故b^2 +ab +a^2 > 0, 因此f(a)-f(b)的符号与 b-a 的符号一致，f单调递减。