Question

已知函数fx=-x^2+ax-lnx(a∈R) (1)当a=3时，求函数fx在【1/2，2】是上当的最大值和最小值； (2)当函数在

已知函数fx=-x^2+ax-lnx(a∈R)
(1)当a=3时，求函数fx在【1/2，2】是上当的最大值和最小值；
(2)当函数在【1/2，2】上单调时，求a的取值范围。

Answer 1

f'(x) = -2x + a - 1/x = a- (2x + 1/x)
(1) 当a=3时，f'(x) = 3 - (2x + 1/x)， f'(x)>0 的解为 (1/2，1)
所以 f(x)在[1/2，1]上单调增，在[1，2]上单调减，
求得 f(x)的最大值为f(1) = 2， 最小值为 f(2)=2- ln2 。

(2) 即 f'(x) 在[1/2,2]上恒≥0，或恒≤0，
① 当 a- (2x + 1/x) ≥ 0， 即 a ≥ (2x +1/x) 恒成立
由于 2x + 1/x 在 [1/2，2]上的最大值为 9/2 ， 所以 a≥ 9/2 ；
② 当 a- (2x + 1/x) ≤ 0， 即 a ≤ (2x +1/x) 恒成立
由于 2x + 1/x 在 [1/2，2]上的最小值为 2√2 ， 所以 a≤ 2√2；
综上， a≥ 9/2 或 a≤2√2 。