Question

微分方程ydx+(x-y)dy=0的通解是

Answer 1

整理得到ydx+xdy=ydy，即d(xy)=d(1/2*y^2)，积分得xy=1/2*y^2+C。

dx/dy=x-y/y

dx/dy=x/y-1

先求出dx/dy=x/y的解，x=cy；

令x=c（y）*y；

对y求倒数得c'（y）*y+c（y）=c（y）*y/y+1；

得出c'（y）=1/y；

c（y）=lny+c；

x=y*（lny+c）；

约束条件

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

以上内容参考：百度百科-微分方程

Answer 2

这个题目需要引入一个新的参数的
首先，把原式化简一下，等式两边先同时除以dx，再同时除以x，就可以得到：
y/x+(1-y/x)(dy/dx)=0的等式，
于是乎，可以设u=y/x，因此dy/dx=du*x/dx+u，
再把这个东西带到上面的式子里：u+(1-u)(du*x/dx+u)=0
然后就对这个式子解微分方程就可以了。
化简以后可以得到：du/dx *x(1-u)=u^2-2u
继续化简就是：
du*(1-u)/(u(u-2))=dx /x
最后两边同时积分。这里右边积分很容易，就是ln x，而左边可以进行一个调整
左边的(1-u)/(u(u-2)) 可以变形为：（1/u+1/(u-2)）*(-1/2），对这个积分就变得很容易了，所以左边积分后就是：-1/2*(ln u +ln(u-2))啦~~~然后因为是通解，所以还要再加上一个常数C，所以就是：-1/2*(ln u +ln(u-2))=ln x+C
最后再把 u=y/x带进去就可以了~~

Answer 3

整理得到ydx+xdy=ydy，即d(xy)=d(1/2*y^2)，积分得xy=1/2*y^2+C

Answer 4

dx/dy=x-y/y
dx/dy=x/y-1
先求出dx/dy=x/y的解，x=cy;
令x=c(y)*y;
对y求倒数得c'(y)*y+c(y)=c(y)*y/y+1;
得出c'(y)=1/y;
c(y)=lny+c;
x=y*(lny+c);