Question

行列式与矩阵的加法问题

式1
式2

式1可以化简成式2吗？（式2中的“=0”可无视！）





Answer 1

可以的！因为 （2）式拆分后是等于 （1）式的。

设6个列矩阵 u1=(x b1 c1)；u2=(-a1 -a1 -a1)；u3=(y b2 c2)；u4=(-a2 -a2 -a2)；
u5=(z b3 c3)；u6=(-a3 -a3 -a3)

则 （2）式=|u1+u2 u3+u4 u5+u6|
=|u1 u3+u4 u5+u6|+|u2 u3+u4 u5+u6|
=|u1 u3 u5+u6|+|u1 u4 u5+u6|+|u2 u3 u5+u6|+|u2 u4 u5+u6|
=|u1 u3 u5|+|u1 u3 u6|+|u1 u4 u5|+|u1 u4 u6|+|u2 u3 u5|+...+|u2 u4 u6|
=|u1 u3 u5|+|u1 u3 u6|+|u1 u4 u5|+|u2 u3 u5|
【8个Di中同时有两列u2、u4、u6的行列式为0】

追问

为什么【8个Di中同时有两列u2、u4、u6的行列式为0】？是这四个DI分别为0，还是他们的和为0？

追答

当行列式中某两列（无视别的“或”的情况！）成比例时，该行列式的值为0.这是行列式基本性质之一。

在本题中，若一个行列式中同时出现 u2、u4、u6中的两个时，将会满足这个性质的条件，则这个行列式为零。所以是【这四个Di 分别为零】！（当然它们的和也自然为零。）

举其中的一个作为示例吧：|u1 u4 u6|=|x -a2 -a3|
b1 -a2 -a3
c1 -a2 -a3

其中，有u4和u6 两列，而这两列它们是成比例的，（u4：u6=a2/a3 是个常数）所以这个行列式的值为零。其它几个值为零的行列式也是基于相同的道理。