Question

已知函数f(x)=x^2+(x-1)|x-a| (1)若a=-1 解方程f(x)=1 (2)

若函数f(x)在R上单调递增 求实数a的取值范围
(3)是否存在实数a，使得g(x)=f(x)-x|x|在R上是奇函数或偶函数 若存在求出a的值

Answer 1

解：（1）当a=-1时，f（x）=x2+（x-1）|x+1|，
故有，f(x)=2x2-1， x≥-11， x＜-1，
当x≥-1时，由f（x）=1，有2x2-1=1，解得x=1，或x=-1．
当x＜-1时，f（x）=1恒成立，
∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}．
（2）f(x)=2x2-(a+1)x+a， x≥a(a+1)x-a，x＜a，
若f（x）在R上单调递增，
则有a+14≤aa+1＞0，解得，a≥13．
∴当a≥13时，f（x）在R上单调递增．
（3）g（x）=x2+（x-1）|x+a|-x|x|，
∵g（1）=0，g（-1）=2-2|a-1|，
若存在实数a，使得g（x）在R上是奇函数或是偶函数，
则必有g（-1）=0，
∴2-2|a-1|=0，∴a=0，或a=2．
①若a=0，则g（x）=x2+（x-1）|x|-x|x|=x2-|x|，
∴g（-x）=g（x）对x∈R恒成立，∴g（x）为偶函数．
②若a=2，则g（x）=x2+（x-1）|x+2|-x|x|，
∴g（2）=4，g（-2）=8，∴g（-2）≠g（2）且g（-2）≠-g（2），
∴g（x）为非奇非偶函数，
∴当a=0时，g（x）为偶函数；当a≠0时，g（x）为非奇非偶函数．