Question

中心在原点、一个焦点为F1（0，5根号2）的椭圆被直线y=3x–2截的弦的中点的横坐标为1/2，求

中心在原点、一个焦点为F1（0，5根号2）的椭圆被直线y=3x–2截的弦的中点的横坐标为1/2，求椭圆方程

Answer 1

焦点为F1（0，5√2）
在y轴上
c=5√2
a^2-b^2=50
弦的中点的横坐标为1/2,代入y=3x–2，
y=-1/2
中点(1/2,-1/2)
设直线与椭圆的交点是A(x1,y1),B(x2,y2)
椭圆方程是y^2/a^2+x^2/b^2=1
∴y1^2/a^2+x1^2/b^2=1
y2^2/a^2+x2^2/b^2=1
上式-下式得
(y1+y2)(y1-y2)/a^2+(x1+x2)(x1-x2)/b^2=0①
∵(y1-y2)/(x1-x2)=3.......直线斜率
(x1+x2)/2=1/2
(y1+y2)/2=-1/2.......中点坐标公式代入①式
得
a^2=3b^2
结合a^2-b^2=50
得a^2=75,b^2=25
∴椭圆方程：y^2/75+x^2/25=1
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