Question

设三角形ABC的内角A,B,C所对的边 长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=1/2c.求tanA/tanB的值

（2）求tan（A-B）的最大值，并4判断此时三角形的形状

Answer 1

解：
⑴由 acosB−bcosA=c/2 可得
2sinAcosB-2sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB (由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=c/sinC=k)
⇒sinAcosB=3sinBcosA
⇒tanA/tanB=3
⑵设tanB=t，则tanA=3t且t＞0
tan(A-B)
=(3t−t)/(1+3t²)
=2t/(1+3t²)
=2/(3t+1/t)
≤√3/3
当且仅当3t=1/t时取得最大值
此时t=√3/3
⇒B＝π/6
3t=√3
⇒A＝π/3，
故C＝π/2，
△ABC为直角三角形