Question

已知关于x的二次方程anx^2-an+1x+1=0（n∈正整数）的两个根a,b满足6a-2ab+6b=3,且a1=7/6

（1）用an表示an+1（2）求证：数列{an-2/3}是等比数列（3）求数列{an}的通项公式an与前n项和sn
第三小题打错了 应该是： (3). 求数列{nan}的前n项和 不好意思哈

Answer 1

1)a+b=a(n+1)/an,ab=1/an
6a-2ab+6b=[6a(n+1)-2]/an=3
a(n+1)=(3an+2)/6
2)a(n+1)-2/3=(3an+2)/6-2/3
a(n+1)-2/3=an/2-1/3
a(n+1)-2/3=1/2(an-2/3)
则数列{an-2/3}是等比数列
（3）an-2/3=(1/2)^(n-1)*(a1-2/3)=(1/2)^n
an=(1/2)^n+2/3
Sn=(1/2)+(1/2)^2+……+(1/2)^n+2/3*n
=(1/2)(1-2^-n)/(1-1/2)+2/3*n
=1-(1/2)^n+2n/3

追问

不好意思 题目打错了 请重新解一下 谢谢

追答

nan=n(1/2)^n+2/3n
分开来求
先求n(1/2)^n
Sn=1*1/2+2*1/4+3*1/8+……+n(1/2)^n
1/2Sn= 1*1/4+2/1/8+……+(n-1)*(1/2)^n+n*(1/2)^(n+1)
1/2Sn=1/2+1/4+1/8+……+(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)
1/2Sn=(1/2)(1-2^-n)/(1-1/2)-n*(1/2)^(n+1)
Sn=2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n
再求2/3n
Tn=2/3+4/3+……+2n/3
=（2/3+2n/3)*n/2
=(1/3+n/3)*n
=(n+n^2)/3
所以总和=2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n+(n+n^2)/3

Answer 2

(1)由韦达定理得，a+b=a(n+1)/an，ab=1/an，6a-2ab+6b=[6a(n+1)-2]/an=3
所以，a(n+1)=1/2an+1/3
(2)[a(n+1)-2/3]/[an-2/3]=[1/2an-1/3]/[an-2/3]=1/2（分子提取一个1/2）为定值，得证
(3)an-2/3=(a1-2/3)*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n
an=(1/2)^n+2/3
sn={1/2[1-(1/2)^n]}/[1-(1/2)]+(2/3)*n=(2/3)*n-(1/2)^n+1

追问

不好意思 题目打错了 请重新解一下 谢谢

追答

nan=n*(1/2)^n+(2/3)*n
分开来看：设Tn=n*(1/2)^n（用乘以一个1/2，错位相减法做），Un=(2/3)*n（普通的等差数列求和），答案可能是2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n+(n^2+n)/3