Question

数学题，求详细过程，给好评。

Answer 1

解：(1)。将x=-c代入椭圆方程得y²=b²(1-c²/a²)=b²(a²-c²)/a²=b⁴/a²，故y=b²/a；即P(-c，b²/a)；
F₂P所在直线的斜率k₁=(b²/a)/(-2c=-b²/(2ac)；
F₂Q⊥F₂P，故F₂Q所在直线的斜率k₂=2ac/b²；
于是F₂Q所在直线的方程为y=(2ac/b²)(x-c)；
令x=a²/c得y=(2ac/b²)(a²/c-c)=(2ac/b²)(a²-c²)/c=(2ac/b²)(b²/c)=2a=4，故a=2；
又a²/c=4/c=4，故c=1，于是得b²=a²-c²=4-1=3；
故椭圆方程为x²/4+y²/3=1.
(2)。根据上述计算和题给的条件可知P(-1，3/2)，Q(4，4)；
故PQ所在直线的斜率K=(4-3/2)/(4+1)=1/2；于是PQ所在直线的方程为y=(1/2)(x+1)+3/2；
代入椭圆方程得3x²+4[(1/2)(x+1)+3/2]²-12=3x²+[(x+1)+3]²-12=4x²+8x+4=4(x+1)²=0，故得x=-1，
y=3/2，即PQ与椭圆只有一个交点Q。