Question

已知二次函数fx=ax^2+bx+c,且f(2+x)=f(2-x)且f(x)大于0的解集是(-2,c)

1）求f(x)的解析式2）求f(x)在区间[m,m+1]的最大值记为h(m)，并求h(m)的最大值

Answer 1

1)由f(2+x)=f(2-x)，即f(x)的对称轴为x=2，即-b/(2a)=2, 即b=-4a
f(x)>0的解集是(-2,c), 即f(x)的两个零点为-2,c, 且a<0
由根与系数的关系：
两根积=-2c=c/a, 得：a=-1/2,故b=-4a=2
两根和=-2+c=-b/a=4, 即c=6
故f(x)=-1/2*x^2+2x+6

2)f(x)=-1/2*(x-2)^2+8
开口向下，对称轴x=2
若对称轴在区间内，即1=<m<=2, 则h(m)=f(2)=8
若对称轴在区间左边，即m>2,则h(m)=f(m)=-1/2*(m-2)^2+8<8
若对称轴在区间右边，即m<1,则h(m)=f(m+1)=-1/2*(m-1)^2+8<8
所以h(m)的最大值为8.