Question

一道解析几何难题求解答

抛物线C：2px=y^2(p>0)左侧有一点R(x0,y0),过R作直线l1，l2分别交C与A,B和C,D；连接AC,BD,交于S
求证：S在p（x+x0)=yy0 上
求大神解答- -

Answer 1

设A(2pa^2,2pa),B(2pb^2,2pb),C(2pc^2,2pc),D(2pd^2,2pd),b>a>0>d>c,则
AB的斜率=1/(a+b),
AB:y-2pa=(x-2pa^2)/(a+b),即(a+b)y-2pab=x，过点R(x0,y0),
∴(a+b)y0-2pab=x0,
同理，(c+d)y0-2pcd=x0.
解得y0=2p(ab-cd)/(a+b-c-d),x0=2p[ab(c+d)-cd(a+b)]/(a+b-c-d),
AC:(a+c)y-2pac=x
BD:(b+d)y-2pbd=x.
解得y=2p(ac-bd)/(a+c-b-d),x=2p[ac(b+d)-bd(a+c)]/(a+c-b-d),
∴p(x+x0)=2p^2*{[ac(b+d)-bd(a+c)]/(a+c-b-d)+[ab(c+d)-cd(a+b)]/(a+b-c-d)}
=2p^2*{[ac(b+d)-bd(a+c)](a+b-c-d)+[ab(c+d)-cd(a+b)](a+c-b-d)}/[(a+b-c-d)(a+c-b-d)]
=2p^2*{ac(b+d)(a-c)+ac(b^2-d^2)-bd(a^2-c^2)-bd(a+c)(b-d)
+ab(c+d)(a-b)+ab(c^2-d^2)-cd(a^2-b^2)-cd(a+b)(c-d)}/[(a+b-c-d)(a+c-b-d)]
=4p^2*(a^2bc+bcd^2-ab^2d-ac^2d)/[(a+b-c-d)(a+c-b-d)]
=4p^2*(ab-cd)(ac-bd)/[(a+b-c-d)(a+c-b-d)]
=y0y,
∴S在p（x+x0)=yy0 上。