Question

极限问题

lime^x等于e^limx是因为什么，还有什么情况也是这种类型的？

Answer 1

lime^x=e^limx
上面的等式成立。更一般地：如果f(x)在x1点连续，g(x)在f(x1)点连续，则：lim(g(f(x)))=g(lim(f(x)))(x趋近于x1)。
证明：对任意e>0，
因为f(x)在x1点连续，所以lim(f(x))=f(x1)(x趋近于x1)。又g(x)在f(x1)点连续，所以总存在d>0，当|f(x)-f(x1)|<d时，下面的式子总是成立的：
|g(f(x))-g(f(x1))|<e。
所以lim(g(f(x)))=g(f(x1))=g(lim(f(x)))。
对于|f(x)-f(x1)|<d总是可以实现的，对任意e1>d>0，总存在d1>0。
使得|f(x)-f(x1)|<e1<d，又一次用到f(x)的连续性。
综合上面：lim(g(f(x)))=g(lim(f(x)))。
令g(x)=e^x，f(x)=x。显然满足连续的条件，所以有：
lim(e^x)=e^limx 。

Answer 2

因为，lim e^x 其极限值取决于x的取值