Question

如图，抛物线与x轴相交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴相交于点C（0,3）

如图，抛物线与x轴相交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴相交于点C（0,3）
（1）求此抛物线的解析式
（2）在抛物线上是否存在一点P，过P作PM⊥x轴于M，使得以A，P，M为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1），将三点代入抛物线方程，求得参数abc，得抛物线方程 y = -x^2 + 2x + 3
（2），因为OB=OC，∠BOC＝90，所以∠OBC=∠OCB＝45。
要想三角形相似，则需要三个角相等即可，
因为∠BOC＝∠PMA＝90，只要剩下两个角等于45度就可以了。
过A点做45度和135度直线各一条。
求得直线方程为 y=x+1和 y=- x-1两条
与抛物线的交点求法
1，y=x+1；y = -x^2 + 2x + 3 求得交点 P1(2，3)，P2（－1，0），P2与A点重合。
2，y=- x-1；y = -x^2 + 2x + 3 求得交点P3（4，－5），P4（－，0），P4与A点重合。
重合点不构成三角形，所以就只剩下P1,，P3了。
先说P1
PM＝3，AM＝1+2＝3，所以PM=AM，所以P1符合条件。
P3时，PM＝5，AM=1+4=5，所以PM=AM，所以P3符合条件。

综上得出P共有两点，坐标分别是（2，3），（4，－5）

追问

那个直线方程是怎么求出来的

追答

过A点做45度和135度直线各一条。45度直线的斜率K＝1，135度斜率＝－1，这是死的，不变的，记住就行了，K1＝tan45=1,K2=tan135=-1。。就是角度的正切值。
直线方程式，y=kx+b，已知K=±1，过A点，将坐标代入，就是直线方程。

Answer 2

(1) y = ax^2 + bx + c
代入A,B,C的坐标:
A: a -b + c = 0
B: 9a + 3b + c = 0
C: c = 3
a = -1, b = 2, c = 3
y = -x^2 + 2x + 3

(2) y = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 +4
D(1, 4)
抛物线对称轴为x = 1
P是C的以x = 1为对称轴的对称点时, |DC| = |DP|, △PDC是等腰三角形
P的横坐标为2, P(2, 3)

追问

以A，P，M为顶点的三角形与△BOC相似
这个证了？

追答

设P(x,y)，则M(x,0),|AM|=|x+1|，因为OC=OB，要想三角形相似，AM=PM，即|y|=|x+1|，点P在抛物线上，所以 y=-x^2+2x+3，联立|y|=|x+1|，y=-x^2+2x+3，解得P(2,3)和P(4,-5)。