不定积分第一换元法题解答有一步看不懂,请指教
题目中有这样一步,我看不懂,我一直理解dx就是x的微分,是Δx趋近于无穷小的值。也就是说dx是一个整体,表示无穷小的Δx,不是d和x的乘积。可是这道题有这样一步变换,我就...
题目中有这样一步,我看不懂,我一直理解dx就是x的微分,是Δx趋近于无穷小的值。
也就是说dx是一个整体,表示无穷小的Δx,不是d和x的乘积。
可是这道题有这样一步变换,我就不太理解了,为什么可以这样算?
谢谢
dx中的x可以是一个函数,即将φ(t)作为一个整体X。这个我能理解。
这道题我也能做出来,我是一步一步算的,没有从dφ(x)的φ(x)中直接提取一个a出来。
我的问题是,为什么此题的解答可以从dφ(x)的φ(x)中直接提取出来一个a放到前面?原话是“因为为了凑微分,d后的φ(x)变成φ(x)/a,所以给前面乘a”。这是仅仅是做题总结出来的一般规律还是什么标准的运算法则?是不是有类似∫Af(x)dx=A∫f(x)dx这样的运算法则? 展开
也就是说dx是一个整体,表示无穷小的Δx,不是d和x的乘积。
可是这道题有这样一步变换,我就不太理解了,为什么可以这样算?
谢谢
dx中的x可以是一个函数,即将φ(t)作为一个整体X。这个我能理解。
这道题我也能做出来,我是一步一步算的,没有从dφ(x)的φ(x)中直接提取一个a出来。
我的问题是,为什么此题的解答可以从dφ(x)的φ(x)中直接提取出来一个a放到前面?原话是“因为为了凑微分,d后的φ(x)变成φ(x)/a,所以给前面乘a”。这是仅仅是做题总结出来的一般规律还是什么标准的运算法则?是不是有类似∫Af(x)dx=A∫f(x)dx这样的运算法则? 展开
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在积分∫f(x)dx中,∫为积分号、f(x)为被积函数、d为微分符号、x微积分变量,你对“dx就是x的微分,是Δx趋近于无穷小的值”的理解没错,dx=Δx,即自变量的微分等于自变量的增量,这个教材中都有证明,当然,函数的微分=函数的导数乘以自变量的微分即dφ(t)=φ'(t)dt。
但这里积分变量x不一定非要是最终变量,它也可以是中间变量。如x=φ(t),x为t的函数。此时并不影响∫f(x)dx=F(x)+C的结果,这里F(x)为f(x)的原函数。
上述积分中,如果x为中间变量,则∫f(x)dx=∫f(φ(t))dφ(t)=∫f(φ(t))φ'(t)dt。也就是说,反过来,如果你要计算∫f(φ(t))φ'(t)dt,就要逆回去∫f(φ(t))φ'(t)dt=∫f(φ(t))dφ(t)=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ(t))+C,这也是第一换元积分法的原理。
你题目中的红色的问号,这一步称为”凑微分“,即微分的逆运算,欢迎追问,望采纳!
但这里积分变量x不一定非要是最终变量,它也可以是中间变量。如x=φ(t),x为t的函数。此时并不影响∫f(x)dx=F(x)+C的结果,这里F(x)为f(x)的原函数。
上述积分中,如果x为中间变量,则∫f(x)dx=∫f(φ(t))dφ(t)=∫f(φ(t))φ'(t)dt。也就是说,反过来,如果你要计算∫f(φ(t))φ'(t)dt,就要逆回去∫f(φ(t))φ'(t)dt=∫f(φ(t))dφ(t)=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ(t))+C,这也是第一换元积分法的原理。
你题目中的红色的问号,这一步称为”凑微分“,即微分的逆运算,欢迎追问,望采纳!
追问
谢谢你的回答,但是你可能没明白我的问题,追问有字数限制,我补充到原问题里面了。
追答
明白你的意思,只是不知道怎么回答,所以还不能让你理解,“凑微分”的妙处或者说所谓准则在于一个“凑”字,关键就是“凑”出什么样的“φ(x)”或者中间变量的问题,你的问题中需要的是“φ(x)/a”这样的一个“φ(x)”,只有“φ(x)/a”这样的一个“φ(x)”,才能“凑”成反正弦函数的基本积分公式。注意我回答中提到的φ(x)仅仅是一个根据“需要”凑出来的一个中间变量而已!另外,确实有类似∫Af(x)dx=A∫f(x)dx的积分运算法则,也有类似adx=d(ax)这样的微分运算法则,从而才会有dφ(x)=a·(1/a)dφ(x)=a·d[φ(x)/a],教材中有证明,证明也简单不再赘叙。
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