Question

如图,设P.Q为△ABC两点且向量AP=2/5AB+1/5AC,AQ=2/3AB+1/4AC,则S△ABP:S△ABQ=____

Answer 1

连接 AP、AQ， 并分别延长交 BC 于 D、E 。
由 AP=2/5*AB+1/5*AC=3/5*(2/3*AB+1/3*AC) 知，AP=3/5*AD ，且 AD=2/3*AB+1/3*AC ，
同理，AQ=11/12*AE ，且 AE=8/11*AB+3/11*AC 。
设三角形 ABC 的面积 SABC=S ，
则由 BD=AD-AB=1/3*(AC-AB)=1/3*BC ，BE=AE-AB=3/11*(AC-AB)=3/11*BC
得 SABD=1/3*S ，SABE=3/11*S ，
由于 SABP=3/5*SABD=1/5*S ，SABQ=11/12*SABE=1/4*S ，
所以 SABP：SABQ=(1/5)：(1/4)=4：5 。