在罗氏几何中能够有和勾股定理类似的阐明直角三角形三边关系的方式吗
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这样的关系是有的, 毕竟两条直角边仍然可以确定第三边.
关系是: cosh(c/R) = cosh(a/R)cosh(b/R) ①.
其中cosh(x) = (e^x+e^(-x))/2, 是双曲余弦函数.
R是常数, 依赖于单位长度的选取(与曲率K的关系为R² = -1/K).
从由a, b可以确定c这一点, ①式与勾股定理平行.
此外, 由Taylor展开: cosh(x) = 1+x²/2+o(x²).
①式在2阶近似的意义下可写为:
1+c²/(2R²) ≈ (1+a²/(2R²))(1+b²/(2R²)) ≈ 1+a²/(2R²)+b²/(2R²).
即得近似勾股定理c² ≈ a²+b².
注: 在球面几何中成立的是cos(c/R) = cos(a/R)cos(b/R).
关系是: cosh(c/R) = cosh(a/R)cosh(b/R) ①.
其中cosh(x) = (e^x+e^(-x))/2, 是双曲余弦函数.
R是常数, 依赖于单位长度的选取(与曲率K的关系为R² = -1/K).
从由a, b可以确定c这一点, ①式与勾股定理平行.
此外, 由Taylor展开: cosh(x) = 1+x²/2+o(x²).
①式在2阶近似的意义下可写为:
1+c²/(2R²) ≈ (1+a²/(2R²))(1+b²/(2R²)) ≈ 1+a²/(2R²)+b²/(2R²).
即得近似勾股定理c² ≈ a²+b².
注: 在球面几何中成立的是cos(c/R) = cos(a/R)cos(b/R).
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