Question

已知函数f(x)=x(2+a|x|),且关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A若[-1/2，1/2]属于A，则实数a的取值范围

Answer 1

当x>=0时，f(x)=ax^2+2x=a(x+1/a)^2-1/a
当x＜0时，g(x)=-ax^2+2x=-a(x-1/a)^2+1/a
当a=0时，A是空集，舍去。
当a>0时，二次函数f(x)开口向上，对称轴x=-1/a，f(x)在x>=0上是增函数，A是空集
二次函数g(x)开口向下，对称轴x=1/a，g(x)在x<0上是增函数，A是空集
当a<0时，二次函数f(x)开口向下，在[0,-1/a]上是增函数，在(1/a,+oo)上是减函数
二次函数g(x)开口向上，在(-oo,1/a]上是减函数，在(1/a,0)上是增函数
所以，a<0时，A非空集。
对于任意的x属于[-1/2,1/2],f(x+a)<f(x)成立。
当x<=0时，g(x+a)<g(x)=g(2/a-x)<=0，由g(x)区间单调性知，
x+a<x且x+a>2/a-x，解得，-1<a<0
当x>0时，1/2<-1/a，函数f(x)在单调增区间内满足f(x+a)<f(x)
所以，a的取值范围为，-1<a<0