Question

如图14，在平行四边形ABCD中，AB=AC=5cm，BC=8cm。

已知动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC向点C运动，设运动时间为t秒。①当运动时间t为多少时，过A.P两点的直线将三角形ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍？②若点P在边BC上，不与B.C重合，且PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E.F，则PE+PF的值是否随点P的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变化，请计算出这个值。

Answer 1

① 三角形ABC的周长分成两部分后分别为：L1=AB+BP，L2=AC+PC；
其中AB=AC=5，BP+PC=BC=8，PC=8-BP。
按 L1= 2×L2，可列式 5+BP = 2×（5+ 8-BP），可解得BP=7。
按 2×L1=L2，可列式 2×（5+BP）=5+8-BP，可解得BP=1。
因此，在第1秒和第7秒时，三角形ABC的周长被分成两个部分符合一部分是另一部分的2倍。

② PE+PF的值不会随点P的变化而变化
三角形ABC的面积S1被AP分成两部分，分别为三角形ABP和三角形APC的面积S2、S3，存在S1= S2+S3。
S2=0.5×AB×PE，S3=0.5×AC×PF。
其中AB=AC=5。所以S1=S2+S3 = 0.5×5×PE + 0.5×5×PF = 2.5×（PE+PF）。
因为三角形ABC的面积S1是固定的，不会随点P的变化而变化，所以PE+PF的值不会随点P的变化而变化。