Question

这里有两道线性代数的题目想求教刘老师

（1）设A为n阶方阵，且A^2=A，试证R(A)+R(A-E)=n。
（2）设A为n阶方阵，且A^2=E，试证R(A+E)+R(A-E)=n。

Answer 1

首先，由于没说A是否满秩，所以后面要证明的应该是R(A)+R(A-E) <= n。

这2道题的证明思路完全一样，我就证一个了，另一个套进去就行。

由于A^2=A，所以A^2-A=0，即A（A-E）=0

这时矩阵A-E的列向量是方程组Ax=0的 一部分 解，也就是说A-E中无关列向量个数是小于等于Ax=0解个数的。
而方程组Ax=0中无关解向量个数为n-r（A）。（这个是定理，别问为什么，书上有详细证明，很长很麻烦很难说，想了解可以自己去看下。做题直接能用，无需任何条件和证明）
所以就有r（A-E）<= n-r(A)
即R(A)+R(A-E) <= n

第二道题A^2=E变成（A+E）（A-E）=0。后面的证明完全一样，就不写了

Answer 2

(1) 因为 A(A-E) = 0
所以 R(A)+R(A-E) <=n
又因为 n = R(E) = R( A - (A-E) ) <= R(A)+R(A-E)
所以 R(A)+R(A-E) = n

(2) 类似