Question

利用函数单调性，证明下列不等式。1.x-x^＞0,x€(0,1) 2.ln＜x＜x^e,x＞0

利用函数单调性，证明下列不等式。1.x-x^＞0,x€(0,1) 2.ln＜x＜x^e,x＞0.各位朋友帮帮忙，急用喔

Answer 1

为了利用函数单调性不仿先用他法证明ln x＜x
设f(x)=lnx-x，(x>0)
令f’(x)=1/x-1＝0，x=1
当0<x<1时，f’(x)>0，当x>1时，f’(x)<0，∴x=1时函数f(x)取极大值f(1)=-1
∴f(x)=lnx-x<0，即lnx<x成立
X=e^lnx，
∵e>1,指数函数单调增，∴e^lnx<e^x==>x<e^x成立
x<e^x成立，反过来利用对数函数的单调性亦可证明ln x＜x
x=lne^x
e>1，对数函数单调增，∴lnx<lne^x==>lnx<x成立
∴ln x＜x＜e^x成立。