Question

三角函数2倍角公式如何推导

Answer 1

在二角和的公式中令两个角相等(B=A),就得到二倍角公式.
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
--->sin2A=2sinAcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
--->cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=(1-(sinA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1.
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
--->tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

在余弦的二倍角公式中,解方程就得到半角公式.
cosx=1-2[sin(x/2)]^2
--->sin(x/2)=+'-√[(1-cosx)/2] 符号由(x/2)的象限决定,下同.
cosx=2[cos(x/2)]^2
--->cos(x/2)=+'-√[1+cosx)/2]
两式的的两边分别相除,得到
tan(x/2)=+'-√[(1-cosx)/(1+cosx)].
又tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)
=2[sin(x/2)]^2/[2sin(x/2)cos(x/2)]
=(1-cosx)/sinx
=.........
=sinx/(1+cosx).

Answer 2

基础是建立在 cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
这个公式在高中课本上是用单位圆里面弦的长度关系来确定的
由些导出cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinasinb+cosasinb
做比有 tan*a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanab)
于是有 cos(a+a)=cos^a-sin^a
sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa
tan(a+a)=2tana/(1-tan^2a)
希望能有帮助