Question

高二数学 解析几何 圆

已知点A（x1,y1）,B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y^=2px(p﹥0)上的两个动点，O是坐标原点，向量OA，OB满足∣OA+OB∣=∣OA-OB∣，设圆C的方程为x^+y^-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
（注：OA，OB上全都有箭头）

1、证明线段AB的圆C的直径；2、当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为（2根号下5）/5时，求P的值。

第一题已证明
第二小题 请问为什么在OA垂直于OB的时候取到最小值？谢谢！
没有人回答么...QAQ

Answer 1

OA与OB总是垂直的, 这是题目条件|OA+OB| = |OA-OB|的推论.
因为其平方得OA²+2OA·OB+OB² = OA²-2OA·OB+OB², 得OA·OB = 0, 即OA与OB垂直.
由此可知AB中点是Rt△AOB的外接圆圆心.
而易见⊙C 以AB中点为圆心并经过O点, 由此⊙C就是Rt△AOB的外接圆, 故AB是⊙C的直径.
即证明了第一问.

第二问由A, B在抛物线y² = 2px上, 有y₁² = 2px₁, y₂² = 2px₂, 相乘得(y₁y₂)² = 4p²x₁x₂.
又OA·OB = 0即x₁x₂+y₁y₂ = 0, 代入得(y₁y₂)² = -4p²y₁y₂.
而y₁y₂ = -x₁x₂ ≠ 0, 故y₁y₂ = -4p².
于是((y₁+y₂)/2)² = (y₁²+y₂²+2y₁y₂)/4 = p(x₁+x₂)/2-2p²,
即圆心轨迹方程为y² = px-2p².
可求得其斜率为1/2的切线的切点为(3p,p), 切线方程2y = x-p.
其与2y = x的距离为p/√5.
可知当且仅当p = 2时距离最小值为2√5/5.