Question

已知数列an的通项公式为an=2^(5-n),数列bn的通项公式为bn=n+k,设cn=bn(an<=bn);cn=an(an>bn)，

已知数列an的通项公式为an=2^(5-n),数列bn的通项公式为bn=n+k,设cn=bn(an<=bn);cn=an(an>bn)，在数列{cn}中，若c5<=cn对任意n属于N*恒成立，则实数k的取值范围是

Answer 1

首先证明c5=b5。事实上，若c5 =a5，由c5<=cn，且数列an是递减的知ci=bi，（i=1,2,3,4)由题目知b1>=a1,但数列an是递减的，bn是递增的，故b5>a5,得c5=b5,这与c5=a5矛盾。故c5=b5。又因bn是递增的，得ci=ai(i=1,2,3,4),由题目知，必有b4<a4，即4+k<2,得k<-2，b5>=a5,即5+k>=1,得k>=-4。对于cn(n>5)，cn=bn(由bn是递增的，可知符合题目）。综上可知，k的取值范围为-4=<k<-2。

追问

不对

追答

确实是算错了，若c5 =a5，则a5>b5,则前面不会有bn的项，因bn递增，an递减，bi(i=1,2,3,4)=6时，必有cn不等于an,即cn=bn,此时应有b6>=a5,故a5>b5，即2^0>5+k,得k=a5,即6+k>=1,得k>=-5，即-5==a5,同理，前面不能有bn项，即a4>=b5>b4,当n>=6时，因bn递增，an递减，有bn>b5>=a5>an(n>=6),故当n>=6时，cn=bn。由b5>=a5，即5+k>=1,得，k>=-4,由a4>=b5，得2>=5+k,得k<=-3,即-4=<k<=-3.

综上得，-5=<k<=-3。

追问

应该不能取到-3和-5

追答

c5<=cn这个等号不去掉，可以验算，-3和-5都满足题中要求，为什么不能取到

追问

哦 没看=

Answer 2

解：若c5=a5，则a5＞b5，则前面不会有bn的项，
∵{bn}递增，{an}递减，∴bi（i=1，2，3，4）＜b5＜a5＜ai（i=1，2，3，4），
∵an递减，∴当n≥6时，必有cn≠an，即cn=bn，
此时应有b6≥a5，∴a5＞b5，即20＞5+k，得k＜-4，
b6≥a5，即6+k≥1，得k≥-5，
∴-5≤k＜-4．
若c5=b5，则b5≥a5，同理，前面不能有bn项，
即a4≥b5＞b4，当n≥6时，∵{bn}递增，{an}递减，
∴bn＞b5≥a5＞an（n≥6），
∴当n≥6时，cn=bn．由b5≥a5，即5+k≥1，得，k≥-4，
由a4≥b5，得2≥5+k，得k≤-3，即-4≤k≤-3．
综上得，-5≤k≤-3．
∴实数k的取值范围是[-5，-3]．
故答案为：[-5，-3]．