Question

求解，要详细过程，谢谢了。

Answer 1

（1）
∵a、b、c成等比数列，∴b^2＝ac，∴结合正弦定理，容易得出：（sinB）^2＝sinAsinC，
又sinC＝2sinA，∴（sinB）^2＝2（sinA）^2，∴sinB＝√2sinA。······①
在△ABC中，显然有：sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝sinAcosB＋√2sinAcosA，
∴2sinA＝sinAcosB＋√2sinAcosA，∴2＝cosB＋√2cosA，∴2－cosB＝√2cosA。······②
由①、②，得：（sinB）^2＋（2－cosB）^2＝2，∴（sinB）^2＋4－4cosB＋（cosB）^2＝2，
∴4cosB＝3，∴cosB＝3/4。

（2）
显然有：S(△ABC)＝（1/2）acsinB，又S(△ABC)＝√7、b^2＝ac，∴√7＝（1/2）b^2sinB。
由正弦定理，有：2R＝b/sinB，∴b^2＝4（RsinB）^2，∴√7＝（1/2）×4（RsinB）^2sinB，
∴2R^2（sinB）^3＝√7。
由（1）的结论，有：cosB＝3/4，∴sinB＝√［1－（cosB）^2］＝√［1－（3/4）^2］＝√7/4。
∴2R^2×（√7/4）^3＝√7，∴2×（√7/4）^2×（1/4）R^2＝1，∴√2×（√7/4）×（1/2）R＝1，
∴R＝8/√14＝8√14/14＝（4/7）√14。