Question

已知f(x)可导，f(0)=0,f'(0)不等于0,为什么不可以用洛必达法则求极限lim(x趋向于0)f(x)/x？

答案里说因为题目里没有假设f'(x)连续，可是这个式子不是好像已经符合洛必达法则的那三个条件了吗？

Answer 1

我也认为是可以用洛必达法则的，
而且f(0)=0，那么
lim(x趋于0) f(x)/x
=lim(x趋于0) [f(x) -f(0)]/ (x-0)
这就是f '(0)的定义式子了啊，而且求某点的导数是不需要导数连续的

Answer 2

设y=[f(x0+1/n) / f(x0)]^n
取对数得：lny=nln[f(x0+1/n)/f(x0)]=nln{1+ [f(x0+1/n)-f(x0)]/f(x0)}
等价于：n[f(x0+1/n)-f(x0)]/f(x0)

则：lim[n→∞] lny
=lim[n→∞] nln{1+ [f(x0+1/n)-f(x0)]/f(x0)}
=lim[n→∞] n[f(x0+1/n)-f(x0)]/f(x0)
=[1/f(x0)]lim[n→∞] [f(x0+1/n)-f(x0)] / (1/n)
=[1/f(x0)]f '(x0)
=f '(x0)/f(x0)

因此：lim[n→∞] y=e^[f '(x0)/f(x0)]
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