Question

已知函数f(x)=x^2+2x+1,若存在实数t,当x属于[1,m]时，f(x+t)<=x恒成立，实数m的最大值是什么

已知函数f(x)=x^2+2x+1,若存在实数t,当x属于[1,m]时，f(x+t)<=x恒成立，实数m的最大值是什么
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Answer 1

m 最大值为4. ∵ f(x+t)=(x+t+1)^2≤x 对于x∈[1,m] 恒成立 ∴即设关于x的二次函数 g(x)=x^2+(2t+1)x+ t^2+2t+1 ≤0 对于x∈[1,m] 恒成立 ∴delta>0 即 t<-0.75 所以还要让m有最大值, 且这个二次函数开口向上 则1必为g(x)的零点 所以 可列方程g(1)=0 解得t= -3 或 t= -1 由韦达定理, 可得方程g(x)=0 的两根之和 x1+x2= -2t-1 且其中 x1=1 故较大的根x2即为m ∴ x2= -2t-1-1= -2t-2 即m= -2t-2 (t= -3 或 t= -1 ) 又∵m 是关于t 的减函数 ∴将t= -3代入 ∴m 的最大值为 4

Answer 2

可用图像求解.
作出y=f(x)和y=x的图像.f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.
即将y=x2的图像向左平移了1个单位.而f(x+t)是将此图像又向左或向右平移了.
但如果要满足f(x+t)≤x.则y=f(x)的图像必须向右平移(t＜0)才可以满足.
如果向左移就是f(x+t)＞=x恒成立了
要使当x∈［1.m］时.f(x+t)≤x恒成立.就必须向右平移使f(x+t)的图像有一段在y=x图像的下方.
向右一点一点平移y=f(x+t).
发现当f(x+t)与y=x相交的左交点横坐标x为1时.其右交点距x=1最远.就是m能取得最大值.
经此分析.问题比较简单了.左交点根据y=x可知坐标为(1.1).
f(x+t)=(x+t)2+2(x+t)+1=x2+(2t+2)x+(t2+2t+1).代入x=1.y=1.解得:t=-3.
所以:y=f(x+t)=f(x-3)=(x-2)2.与y=x联立.解得:另一交点为(4.4).
所以:m 的最大值为4.