Question

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证；（1）B1D⊥平面A1C1B （2）B1D与平面A1V1B的交点H是三角形A1C1B

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证；（1）B1D⊥平面A1C1B （2）B1D与平面A1V1B的交点H是三角形A1C1B的重心

Answer 1

为了清楚，我把你的图的方向变了一下，请谅解。

解：(1)如图，设底面对角线的交点为O,对角线B1D与平面A1BC1相交于H,则H一定在平面A1BC1与对角面BB1D1D的交线BO上。

∵BB1⊥A1C1. B1D1⊥A1C1,BB1∩B1D1=B1

∴A1C1⊥平面BB1D1D.

 又B1D在平面BB1D1D内，∴B1D⊥A1C1.

设正方体的棱长为1，则在矩形BB1D1D中，

B1D1=√2,B1O=√2/2.

在Rt△B1D1D中，DD1/B1D1=1/√2=√2/2;

在Rt△BB1O中，OB1/BB1=(√2/2)/1=√2/2.

∴∠DB1D1=∠OBB1.∴B1H⊥BO,即B1D⊥BO.又BO∩A1C1=O,∴B1D⊥平面A1BC1.

    (2)因B1-A1C1B是正三棱锥，B1H是高，H是顶点B1在底面A1C1B上的投影，所以H是底面正三角形的中心

Answer 2

A1CI垂直于BDD1B1，所以A1C1垂直于B1D;A1B垂直于AB1C1D,所以A1B垂直于B1D;所以B1D垂直于A1BC1.
过H做三角形三边垂线交于I,J,K,B1H=B1H,B1I=B1J=B1K,根据直角三角形全等定理（HL），得全等，故HI=HJ=HK,H是垂心，等边三角形三心合一