Question

同济五版《线性代数》P123 例11解答不理解(三)”

我对定理4.5的证明又看了一遍,终于发现了"定理4.5的证明过程是错的"问题的实质:　　先来看证明的第一行:

（记为①式）
　　这里没有否定 所有系数k11=k12=…=kms1=…kmsm=0的可能性，因此①式中的左边表达式是有可能=0的。
　　再来看证明的第二行：

　　这里同样的ki1,ki2,…,kisi(i=1,2,…,m)是附加条件的，即要具备m个条件：k11,k12,…,k1s1不全为0，k21,k22,…,k2s2不全为0，…………km1,km2,…,kmsm不全为0,否则ki1·αi1+ki2·αi2+…kisi·αisi(i=1,2,…,m)不是属于λi的特征向量。
　　由此可见证明的第一行中的ki1,ki2,…,kisi(i=1,2,…,m)和第二行中的ki1,ki2,…,kisi(i=1,2,…,m)不可能是同样的数。根据定理4.4,由附加条件的ki1,ki2,…,kisi(i=1,2,…,m)组成的m个不同组合 线性无关（即：证明的第四行）和 不附加条件的①式（即：证明的第一行） 去比较从而得出矛盾，这样的逻辑本身就是错误的.
　　因为由证明的第四行，我们可以得出：1·（k11·α11+k12·α12+…k1s1·α1s1）+……1·（km1·αm1+km2·αm2+…kmsm·αmsm）≠0（即上述①式中的左边表达式必不为0）。即对ki1,ki2,…,kisi(i=1,2,…,m)附加条件时，上述?①式（即：证明的第一行）假设就是错误的。





Answer 1

请稍等 .

第一行的假设是证明向量组线性相关性的一般方法, 不存在假设是否错误
若得出组合系数必须全为0, 则向量组线性无关
是这样吧.

将第一个等式中的各项分组,
下面说明的是每一组必须等于0
用的是反证
若所有组都不等于0, 那么就与定理4.4属于不同特征值的特征向量线性无关矛盾
所以至少有一组等于0
同样考虑剩下的线性组合, 最终得出每组必为0

再由每组都是线性无关的向量的线性组合, 进而得出组合系数全为0

这样你应该明白了.

追问

追问字数有限制，见“同济五版《线性代数》P123 例11解答不理解(四)”。