Question

一道数学题。求答案及详细解法。谢谢。

已知抛物线y=ax2+bx的顶点为M(1,1),在直线x=1上取点E在直线x=1上取点E(1,3/4),过抛物线上的点P（P在对称轴右侧）向直线y=5/4作垂线，垂足为Q，连结EQ、EP。
（1）当三角形PQE是以PQ为底边的等腰三角形时，求P点坐标，并证明此时△PQE是等边三角形。
（2）在①的条件下将三角形PQE沿与直线y=5/4平行的方向平移，当点E落在抛物线上时，求此时直线PE的解析式。

Answer 1

⑴抛物线顶点为(1，1)，
解析式写为：Y=a(X-1)^2+1(a≠0)，
又过原点，∴0=a+1，a=-1，
∴Y=(X-1)^2+1=-X^2+2X。
过E作EF⊥PQ于F，延长QP交X轴于R，
∵EP=EQ，∴FP=FQ，
∵PQ∥对称轴X=1，∴FQ=5/4-3/4=1/2，
∴FP=1/2，PR=3/4-1/2=1/4，PQ=1，
P在抛物线上，1/4=-X^2+2X，X=1+√3/2(取X>1)，∴P(1+√3/2，1/4)。
∴EF=1+√3/2-1=√3/2，
PE=√(EF^2+FP^2)=√(3/4+1/4)=1=PQ，
∴ΔEPQ是等边三角形。
⑵令Y=3/4，3/4=-X^2+2X，X=1/2或3/2，
∴E(1/2，3/4)或(3/2，3/4)，
则⑴得：P(1+√3/2，√3/2)
①当E(1/2，3/4)时，
设直线PE解析式为：Y=KX+b，得方程组：
√3/2=(1+√3/2)K+b
3/4=1/2K+b
解得：K=(3-4√3)/4，b=(3+4√3)/8，
∴直线PE：Y=(3-4√3)/4X+(3+4√3)/8，
②当E(3/2，3/4)时，自己练习计算，比较有难度的方程组。

Answer 2

利用两点间距离公式，2个问题都能解决d=x坐标之差的平方+y坐标之差的平方，再开平方

追问

可以帮我写出过程么、O(∩_∩)O谢谢。。。

追答

⑴抛物线顶点为(1，1)，说明最大值是x=1时，则对称轴为1
则：对称轴=-b/2a
1=a+b
1=-b/2a
联立方程解得：a=-1，b=2，所以抛物线方程y=-x²+2x
设：Q（q1,5/4),P(x,y), E(1,3/4)根据2点间距离公式：
（q1-1）²+（5/4-3/4）²=（x-1）²+（y-3/4)²
等腰三角形点P，和Q，x轴点坐标相等，即q1=x，点p在抛物线上，解此方程，后一问同样道理
(2)平移之后点p，q，x方向坐标还是一样，切 E点过抛物线，还是等边三角形，所以个第一问一样的解法，自己在领悟哈，这个你要学会，以后很常见