Question

平面向量的性质有哪些？

Answer 1

人教版新教材高一数学(第一册下)在给出平面向量数量积的性质中，有这样一条性质：

在上述性质中,若设，，则由向量数量积的坐标表示，可变形为：(其中等号成立的条件是与共线或)

利用上述性质及其变形，有时可简捷地解决与不等式有关的其它数学问题。下面试举几例加以说明其应用：

1、证明不等式

例1 已知a、b是不相等的两个正数，求证：（新人教版高中数学第二册上习题6.3第6题）

证明：构造向量，，则由a、b为不相等的两个正数可知：向量、不共线。此时此时有：，

而，

，

从而有：，也即：

例2 求证：（高中数学第二册上练习第3题）

证明：构造向量，，则向量、不相等，至多反向。因为，，由得：，，又向量、不相等，所以。

2、证明恒等式或求值

例3 已知：且，则（第三届希望杯全国数学邀请赛试题）

证明：构造向量，，由得：，易知上式中等号成立，所以，从而

例4 在锐角中，已知，求角C的值。

解：由，得：

构造向量，，由，得：

化简整理得：，所以，又，从而

由不等式取等号条件知，故而

3、求值域或最值

例5 求函数的最大值。

解：设，，则，，由得：

，

当且仅当且方向相同时，不等式取“=”号，即：，解之得：

所以当时，

例6 设且，求的最小值。（1998年湖南省高中数学竞赛题）

设向量，，则，，并且，由得：，所以，当且仅当、同向即，解得：时不等式取等号，故的最小值为

4、解方程（组）

例7 解方程

解：因为，方程两边同除以，得；

设，，由得：

所以上式中等号成立，从而有

解之得：

代入原方程检验均适合。

5、解其它问题

利用平面向量的性质及其变形，除了可以解决上述问题外，还可以解决诸如数列等其它相关问题，从上述各例来看，利用该性质来解决问题，关键是将条件式如何转化为向量的坐标表示，然后才能套用公式求解（或求证），特别注意的是在求最值时还注意等号成立的条件。

Answer 2

大小和方向

Answer 3

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