Question

已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(1)=1,求f(2013)的值

首先麻烦给我解释下 为什么f（x）的周期为4

Answer 1

f(2+(2+x))=f(2-(2+x))
所以，f(4+x)=f(-x)
因为，f(x)是偶函数
所以，f(-x)=f(x)
所以，f(4+x)=f(x)
所以，f(x)是周期函数，周期T=4
所以，f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=1
所以，f(2013)=1

Answer 2

首先解释f（x）的周期为4
因为f(2+x)=f(2-x)
上式子中令x=x-2，得f(x)=f(4-x)
再令x=-x，得f(-x)=f(x+4)
又f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)
所以f(x)=f(-x)=f(x+4)
故f(x)是周期为4的函数
故f(2013)=f(503×4+1)=f(1)=1

追问

不好意思 我数学不好 请问为什么用x=x-2代入 计算

追答

因为周期函数定义是f（x）=f(x+T）,其周期为T。
所以要想办法把题目给出的等式化为f（x）=f(x+T）的形式
令x=x-2，原式子f(2+x)=f(2-x)就化为f(x)=f(4-x)，左边f（x）符合要求了

式子中f(x)=f(4-x)。令x=-x，得f(-x)=f(x+4)

再根据偶函数性质f(x)=f(-x)=f(x+4)

可得f(x)=f(x+4)，即T=4

Answer 3

解
f(x)周期为4
∵f(2+x)=f(2-x)——令x=x-2
∴f(x)=f(4-x)
∵f(x)是偶函数
∴f(-x)=f(x)
∴f(x)=f(-x)=f(x+4)
∴f(x)是周期为4的函数
∴f(2013)
=f(503×4+1)
=f(1)
=1

Answer 4

f(2+x)=f(2-x)
则函数关于x=2对称
f(4)=f(0),
f(-4)=f(0)
f(8)=f(4)=f(0)
∴f（x）的周期为4

则 f(2013)=f(2012+1)=f(1）=1

Answer 5

f(2+x)=f(2-x)
令x=x-2，则f[2+(x-2)]=f[2-(x-2)]
即f(x)=f(4-x)
因为f(x)是偶函数，所以f(4-x)=f(x-4)
所以f(x)=f(x-4)
所以周期为4
f(2013)=f(1+2012)=f(1)=1